수학 고찰의 시작은 p->q라는 명제에 대한 이해이다.
p일 때 q라는 결과가 발생함은 p속의 p', p''....(p의 구성요소)들이 모두 q를 만족해야 한다는 의미이며
이는 즉 p이면 모두 q를 만족한다는 뜻이다.
추상적으로 그려보면 q라는 거대한 그물망 안에 p가 포함되어있음을 알 수 있고, 우리는 p를 충분조건이라 부른다.
결과인 q 입장에서 명제를 바라보면 q는 p를 필요로 하기에 q는 필요조건이라 칭한다.
p와 q가 서로가 서로의 충분조건이자 필요조건이 되면 p<->q로 나타내어지며, 필요충분조건이라 불림 역시 익히 알고 있는 사실일 것이다.
(집합간의 관계의 관점에서도 기호가 다르게 표현될 뿐 동일하게 바라봐질 수 있다.)
참인 명제, 거짓인 명제
옳다고 전제된 사실을 증명하는 경우도 있지만, 주어진 사실이 참인지 거짓인지 판단하는 증명도 존재한다.
p->q라는 명제를 바탕으로 참 거짓을 구분하는 기준은 다음과 같다.
| p | q | p->q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | T | T |
즉, 하나의 명제가 거짓됨을 증명할 수 있는 방법은 p가 사실이지만 q가 거짓일 때 이 한 가지 뿐이다.
따라서 거짓임을 증명하는 것을 목표로 한다면 p가 옳다는 전제 하에서 q가 틀림을 증명하면 되는 것이다.
증명 방법
일반적으로 증명을 요하는 문제는 완전한 명제의 형태가 주어지거나, p 또는 q에 속하는 하나의 fact로 제공된다.
증명의 세 가지 방법을 알아보자.(대입, 대학수학증명 등 대부분의 증명(사실 거의 모든...)은 이 방법으로 해결된다)
1. 직접증명법(체인증명법)
q라는 결과를 위해 알고 있는 것을 연결지어주는 방식이다.
'체인 증명법'이라 칭할 수 있는 이 방법은 가장 기본적이지만 지식적 사고가 필요하기에 시야를 확장해야 한다는 어려움이 있다.
definition,theorem,lemma등을 통해 익힌 기존의 사실을 꼬리처럼 물어서 다음 증명의 시작으로 이어주는 방식이라는 뜻에서 '체인 증명법'으로 명명하였다.
해당 증명을 사용하기 위해서는 q라는 '결과이자 목표이자 가설'을 잊지 않은 상태에서 p와 q를 연결지어줄 고리를 찾는 것이다.
연역적 사고실험의 일종이라 생각할 수 있겠다.
2. 간접증명법(명제 변형하기)
p->q라는 명제를 그 자체로만 바라보면 풀리지 않을 문제를 다른 관점으로 바라보는 것이다.
- 대우 이용하기
p->q는 ~q->~p임을 이용하는 방법이다.
- 귀류법
~q일 때 p가 아니면 모순이므로 p일때는 q라는 사실을 이용하는 방법이다.
~q가 아니면 q일 수 밖에 없다는 이분법적 사고를 이용한 증명이다.
여기서 모순이라는 것은 기존 전제했던 p와 ~q가 상충되는 부분, 논리적으로 반대되는 부분을 마주했을 때의 상황을 일컫는다.
3. 수학적 귀납법(Mathematical induction)
k=1일 때, k=n일 때 참이면 k=n+1일 때의 명제 역시 참임을 증명하는 방법(1)이다.
즉 n과 n+1일 때 모두 참이 되면 모든 n(일반적으로 자연수)에서 성립하는 증명이 된다.
고등학교 (수학(상))에서 처음 익히게 되는 개념으로,
하나의 명제인 p(k)가 주어졌을 때 일반화할 수 있느냐를 증명하기에 용이하다.
세부적으로 들어가면, 수학적 귀납법은 두 가지 방법으로 분류된다.
수학적 귀납법(1),(2)로 분류해 놓은 것이 바로 이 때문인데,
수학적귀납법(2)의 경우 1부터 k가 모두 사실이라면, k+1일 때 역시 참으로 생각하는 방법이다.
연쇄적으로 생각해야 할 때 (2)의 방법을 일반적으로 사용한다.
지금까지 서술한 세 가지 증명 방법을 잘 익혀두면 대부분의 증명 과정에서의 어려움은 없을 것이다.
